Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л2-ТВ
.pdf1
ЛЕКЦИЯ №2
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ
2.1. Геометрические вероятности, условные вероятности и вероятностная зависимость двух событий
Пусть реализации события A в некотором пространстве событий 1 соответствует некоторая площадь - S A , ограниченная окружностью.
Область, ограниченную окружностью, непрерывно заполняют элементарные |
|||
события, благоприятствующие наступлению события A . Будем полагать, что |
|||
S A P A , а |
S 1 |
1. Вероятность события A в данном пространстве |
|
может вычисляться |
геометрически |
как отношение площадей вида |
|
P A S( A) / S |
1 . Вероятность P A |
также называют геометрической. Что |
бы произошло событие A достаточно случайного попадания в любую одну точку (не обязательно во все сразу) области, ограниченной окружностью.
Пусть далее реализации события В в пространстве событий 2 соответствует некоторая площадь - S B , ограниченная другой окружностью, при этом S B P B , S 2 1см. рис 2.1 a-b.
Рис. 2.1.a |
Рис. 2.1. b |
Пусть сперва реализуется событие A , а затем событие B . Можно полагать, что проводится два отдельных эксперимента, в каждом из которых свое пространство событий. События разных пространств всегда совместны, так как реализация одного события в пространстве 1 не исключает
реализации другого события в пространстве 2 .
Возможны две ситуации.
Ситуация 1. Наступление события A не изменяет вероятность - P B реализации события В в совместном пространстве событий (событие В вероятностно-независимо от события A ).
2
Ситуация 2. Наступление события A изменяет вероятность - P B реализации события В в совместном пространстве событий (событие В
вероятностно-зависимо от события A ). |
|
Рассмотрим совместное пространство событий |
( S 1) |
эксперимента см. рис 2.2.a-b. На диаграммах в случае ситуации 2 должна изменяться площадь события В , но в любой ситуации имеется ненулевая по площади область пересечения событий. Размер данной области определяет вероятность произведения событий A и В - P( AB) S AB . Вероятность
суммы событий A и В равна сумме площадей трех непересекающихся фигур, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P A B S ( A B) P AB |
P AB P AB 1 P( AB) . |
(2.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис 2.2.a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.2.b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( A) P AB , |
||||
|
|
С другой |
стороны, |
|
|
учитывая, |
|
что |
|
|
P AB |
|||||||||||||||||
P B |
|
P(B) P AB , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P A B P A P B P( AB) 1 P |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
AB . |
(2.2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычислим далее P( AB) S AB . Из рис 2.2.b следует, что |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
P AB |
|
|
|
P AB |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
P AB P AB |
|
|
|
P B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
P AB |
|
|
|
|
|
P AB |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
P AB |
|
P A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
P AB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Величины C1 |
и C2 - |
доли от |
вероятностей |
|
|
событий |
B и A в |
вероятность произведения событий AB . Если данные величины известны в ходе эксперимента, то можно вычислить вероятность - P( AB) .
3
Величину C1 P( AB) / P B называют вероятностью события A при условии, что произошло событие B и обозначают P( A/ B) .
Величину C2 P( AB) / P A называют вероятностью события B при условии, что произошло событие A и обозначают P(B / A) .
Событие A называется независимым от события В , если выполняется условие:
|
|
||
P A / B P( A / |
B |
) P A . |
(2.5) |
Если условие (2.5) не выполняется, то говорят, что имеет место вероятностная зависимость события A от того факта произошло или не произошло событие В .
Событие B называется независимым от события A , если выполняется условие:
|
|
||
P B / A P(B / |
A |
) P B . |
(2.6) |
Если условие (2.6) не выполняется, то говорят, что имеет место вероятностная зависимость события B от того факта произошло или не произошло событие A .
Пример 2.1. В ящике находятся 5 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 2 белых. Из ящика последовательно извлекают два шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении, а событие B - извлечение белого шара при втором извлечении. Построить пространство
событий эксперимента. Найти вероятности событий: B / A , B / A , B / A , B / A .
Решение: Пространство событий эксперимента представлено на рис.
2.3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. |
|||
P A |
2 |
|
P |
|
|
3 |
|
P B / A |
1 |
|
P B / |
|
|
2 |
|
P |
|
/ A |
3 |
; P |
|
/ |
|
|
2 |
. |
|
; |
A |
; |
; |
A |
; |
B |
B |
A |
|||||||||||||||||||
5 |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Так как P B / A P B / A событие B является вероятностнозависимым от события A .
2.2. Вероятность суммы и произведения двух событий
В соответствии с (2.3) и (2.4) вероятность произведения событий A и B вычисляется по формуле
P AB P A P B / A P B P A/ B . |
(2.7) |
||||||||||||||||||||||||
Если события A и B являются вероятностно-независимыми, то |
|||||||||||||||||||||||||
формула (2.7) приобретает более простой вид |
|
||||||||||||||||||||||||
P AB P A P B P B P A . |
(2.8) |
||||||||||||||||||||||||
Тогда, используя (2.2), получим |
|
||||||||||||||||||||||||
P A B P A P B P B P( A/ B) P A P B P A P(B / A) . |
(2.9) |
||||||||||||||||||||||||
Также из (2.2) следует |
|
||||||||||||||||||||||||
P A B 1 P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 1 P A P B / A 1 P B P A/ B . |
(2.10) |
||||||||||||||||||||||||
Используя инверсию событий, получим также |
|
||||||||||||||||||||||||
P AB 1 P |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||
A |
B |
(2.11) |
|||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
AB 1 P A B . |
(2.12) |
Пример 2.2. В ящике находятся 5 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 2 белых. Из ящика последовательно извлекают два шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении, а событие B - извлечение белого шара при втором извлечении. Найти вероятности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
событий: AB , AB , AB , AB , A B , |
B . |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: Пространство событий эксперимента представлено на рис. |
|||||||||||||||||||
2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P AB P A P B / A |
1 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
; |
AB P A P B / A |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
P AB |
P A P B / A |
; |
AB P A P B / A |
; |
||||||||||||||||||
10 |
10 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P A B 1 P AB 107 ;
P B P A B P A P AB P AB P AB 104 .
2.3. Вероятность суммы и произведения трех событий
По аналогии с диаграммами рис. 2.2 a-b можно построить диаграмму, иллюстрирующую три совместных события A , B , C в пространстве см.
рис. 2.4.
Из анализа восьми несовместных событий, представленных на диаграмме, следует, что
P A B С P ABC P ABC P ABC P ABC |
|
P ABC P ABC P ABC P ABC 1 P ABC . |
(2.13) |
B
A
C
|
Рис. 2.4. |
Альтернативный вариант вычисления |
площади S A B С при |
условии, что S 1 дает следующая формула |
|
P A B С P A P B P C P AB P AC P BC P ABC . (2.14)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По аналогии с (2.11) и (2.12) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P ABС 1 P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
A |
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ABC 1 P A B C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Условной вероятностью события С |
|
|
|
|
в данном эксперименте |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называются величины, определяемые по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P C / AB |
|
|
|
|
P ABC |
|
P ABC |
. |
(2.17) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( AB) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
P( ABC) P( ABC) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ABC |
|
|
|
|
P ABC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
P C / AB |
|
|
|
|
. |
(2.18) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
P( ABC) P( ABC) |
P( AB) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P C / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
ABC |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.19) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
P( ABC) P( ABC) |
P( AB) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
P C / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
P ABC |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.20) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
P( ABC) P( ABC) |
P( AB) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Условной вероятностью события B |
|
|
|
|
- P B / AC |
в данном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эксперименте называются величины, определяемые по формулам |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P B / AC |
|
|
|
|
P ABC |
|
P ABC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2.21-2.24) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P( ABC) P( ABC) |
|
|
|
P( AC) |
|
…
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Условной вероятностью события A |
- P A / BC |
в данном |
|||||
эксперименте называются величины, определяемые по формулам |
|
||||||
P A / BC |
P ABC |
P ABC |
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
(2.24-2.27) |
|
P( ABC) P( |
|
|
|
||||
ABC) |
P(BC) |
…
Если события в данном эксперименте вероятностно-независимы формулы (2.17-2.27) приобретают более простой вид, например, для случая вероятностно-независимых событий А, В,С
P ABC P A P B P C . |
(2.28) |
Пример 2.3. В ящике находятся 7 идентичных по размерам шаров, из которых 3 красных и 4 белых. Из ящика последовательно извлекают три шара. Пусть событие A - извлечение белого шара при первом извлечении; событие B - извлечение белого шара при втором извлечении, а событие С - извлечение белого шара при третьем извлечении. Найти вероятности событий:
ABС ; С .
Решение:
P ABC P A P B / A P C / AB 74 63 53 356 .
P C P ABC P ABC P ABC P ABC
74 63 52 73 64 53 74 63 53 73 62 54 120210 74 .
2.4.Вероятность суммы и произведения n событий
По аналогии с формулами, полученными в разделах 2.2-2.3 можно получить формулы для вероятности произведения и суммы n событий
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.29) |
P |
Ai |
1 P |
Ai . |
||||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.30) |
P |
Ai |
1 P |
Ai . |
||||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
Формулы универсальны, |
так как применяются |
для совместных и |
несовместных, зависимых и независимых событий.
Пример 2.4. В электрической цепи 10 лампочек находятся в последовательном
соединении. |
На |
некотором |
промежутке |
времени |
|
любая лампочка |
|||
независимо |
от |
других |
может |
перегореть |
с |
вероятностью |
|||
P A1 P A2 |
... P A10 |
0,3. Найти вероятность |
события В - на |
||||||
промежутке времени перегорит хотя бы одна лампочка. |
|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P B P A1 |
|
A3 ... A10 1 P |
|
10 1 0,710 0,972. |
|||||
A2 |
A |